10分钟初中数学课 | 画树状图或列表求概率(1)
ccwgpt 2024-11-15 16:53 21 浏览 0 评论
这一讲，我们来进一步认识一下概率。
什么是概率？
概率就是一个数，用来表示一件事发生的可能性大小。
有些事情可以事先肯定其一定会发生，比如太阳从东边升起，这些事情称为必然事件，它们的概率等于1；有些事情可以事先肯定其一定不会发生，比如太阳从西边升起，这些事情称为不可能事件，它们的概率等于0；还有一些事情，我们无法事先肯定其会不会发生，比如明天出太阳，这些事情称为随机事件，它们的概率在0到1之间。
必然事件和不可能事件属于确定事件，它们的概率可以直接得出，我们需要研究的，是随机事件的概率。
怎么求概率？
有些随机事件的概率是可以计算的，比如等可能事件。
来看一道例题：
- 1.抛一枚均匀硬币一次，正面朝上的概率是多少？
- 2.抛一枚均匀硬币两次，两次正面朝上的概率是多少？
很多同学看到第1题，就忍不住脱口而出：“?！”
没错，答案就是?。不过，它是怎么得出来的？
抛一枚硬币，能出现的结果有两种，要么正面朝上，要么反面朝上；因为是均匀硬币，所以这两种结果出现的可能性相等；而“正面朝上”占了两种结果中的一种，于是概率就等于?。
从这里可以看出，解决问题的关键，在于列出所有的等可能结果。
现在来看第2题，请问一共有几种等可能的结果？
有的同学可能举手了：“三种，两次正面、两次反面、以及一正一反！”
不错，出现的结果是有三种，问题是，它们出现的可能性相等吗？
好像相等，又好像不相等。
怎么办？用一个工具：树状图。
对比第1题和第2题，如果把一枚均匀硬币抛一次，看做是一步试验；那么把一枚均匀硬币抛两次，可以看做是两个一步试验的组合：第一次抛和第二次抛，不妨称它为两步试验。
对于两步试验，树状图可以帮助我们列出所有的等可能结果。
树状图怎么画？
先写标题：第1次、第2次、结果，分别代表两次试验及出现的结果。
在“第1次”的下方，写上“正”和“反”，表示第一次抛硬币出现的等可能结果有两种：正面朝上、反面朝上。注意留出一定的间隙，避免到后面不够位置。
在“第2次”的下方，“正”的右边，写上“正”和“反”，表示第一次出现正面朝上时，第二次抛硬币出现的等可能结果有两种：正面朝上、反面朝上。接着，在“正”的后面写上(正，正)，表示两次抛都是正面朝上；在“反”的后面写上(正，反)，表示第一次抛正面朝上，第二次抛反面朝上。
以此类推，完成整个树状图。
现在，从树状图可以看出，抛一枚均匀硬币两次，可以得到4种等可能结果，其中符合“两次正面朝上”的有1种，所以概率为?。
解题过程怎么写呢？给你一个框架：“申请住宿”。
第一步，“审批资格”，判断每个结果发生的可能性是否相同。
第二步，“清点床位”，画树状图，列出所有的等可能结果。
第三步，“安排入住”，看看符合题意的结果有几个，求概率。
除了树状图，还有一个工具，能帮我们做同样的事情，那就是表格。
还是以第2题为例，怎么列表呢？
先画一个3×3的表格。为什么？因为第一次抛和第二次抛，出现的等可能结果都是2种，所以表格的行和列都是2+1，也就是3。这里的“1”，是给标题留的。
表头划线分成两部分，写上标题：第1次、第2次。接着，在第1行和第1列分别写上“正”和“反”。
表格剩下的部分，填写出现的等可能结果，先行后列。这样，表格就完成了。
从表格同样可以看出，抛一枚均匀硬币两次，可以得到4种等可能结果，其中符合“两次正面朝上”的有1种，所以概率为?。
总结
1.求两步试验的概率时，可以用树状图或列表列出所有的等可能结果。
2.求概率的解题过程可以用“申请住宿”框架来写。
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